Inkommenzurábilitás

Az inkommenzurábilitás szó szerint két dolog, mennyiség összemérhetetlenségét, összehasonlíthatatlanságát jelöli (ellentéte: a kommenzurabilitás).

Definíció szerint, két szakasz adott, egységnek választott szakaszra nézve (relatív értelemben) összemérhetetlen, ha nem mérhető fel rájuk egésszámúszor ugyanaz az egységnyi hosszúságú szakasz. Két szakasz pedig akkor inkommenzurábilis, azaz (abszolút értelemben) összemérhetetlen, ha bármekkora szakaszt is egységnek választva, minden ilyen szakaszra nézve összemérhetetlenek.

Példa

Például egy 40 cm hosszú és egy 2 m 20 cm hosszúságú szakasz összemérhetetlennek tűnik, ha a méterrudat használjuk egységként, de nem így van: pl. 20 cm-es egységben mérve, definíció szerint kommenzurábilisak (az egyik 2 egységnyi, a másik 11 egységnyi). Adott szakaszokat és egy egységnyi hosszúságú szakaszt véve remélhetjük, hogy az egységet egész számú részre osztva olyan új egységet kapunk, amely szerint már összemérhető a két szakasz. A fenti példát véve, azt is mondjuk, hogy a két szakasz hosszaránya 2/11. Vajon igaz-e az, hogy bármely két szakaszhoz találunk egy egységszakaszt, melynek felhasználásával ezek hosszaránya m/n alakban, azaz racionális szám formájában kifejezhető?

Inkommenzurábilitás a geometriában

A fenti példában feltett kérdésre negatív a válasz. Az Euklideszi geometria szakaszaira általában nem igaz, hogy található közös egység, mely egésszámúszor felmérhető mindkettőre. Másképp fogalmazva: általában nem igaz, hogy tetszőleges szakaszpár hosszaránya kifejezhető racinális szám formájában. Például, az egyenlőszárú derékszögű háromszög átfogója és befogója ilyen szakaszok. Az Euklideszi geometriában tehát léteznek inkommenzurábilis szakaszok. Ezt most indirekt módon kétféleképpen is bebizonyítjuk. Feltesszük, hogy a szóbanforgó arány racionális és kimutatjuk, hogy ez a feltevés ellentmondásra vezet. Nyugodtan választhatjuk az átfogó hosszát egységnyire, hiszen, ha az átfogó és a befogók hosszaránya racionális, akkor ez az arány minden egyenlőszárú derékszögű háromszögre racionális, mert ezek a háromszögek hasonlóak és így oldalhosszarányuk azonos. Mármost, ha az oldalhossz egységnyi, akkor a Pitagorasz-tétel szerint az átfogó éppen a kettes szám négyzetgyöke. Valóban, éppen ezt mondja a Pitagorász tétel: az átfogók hosszának négyzetösszegét véve, ami jelen esetben kettő megkapjuk az átfogó négyzetét; ebből négyzetgyököt vonva az átfogó hossza adódik. Márpedig a kettő négyzetgyöke (az a szám, amelyet önmagával szorozva kettőt kapunk) nem racionális szám, nem fejezhető ki két egésszám hányadosaként. Ennek az állításnak a bizonyítása a racionális számokról szóló cikkben található.

Pitagorasz-tétel

A Pitagorasz-tétel vagy Pitagorasz tétele az euklideszi geometria egyik állítása. Felfedezését és első bizonyítását az i.e. 6. században élt matematikusnak és filozófusnak, Püthagorasznak tulajdonítják, pedig indiai, görög, kínai és babilóniai matematikusok már ismerték a tételt jóval Püthagorasz előtt, és a kínaiak bizonyítást is adtak rá.

A tétel

Minden derékszögű háromszög leghosszabb oldalának (átfogójának) négyzete megegyezik a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével. Tehát: ha egy háromszög derékszögű, akkor a leghosszabb oldalára emelt négyzet területe a másik két oldalra emelt négyzetek területének összegével egyenlő.

A szokásos jelölésekkel (c az átfogó): a² + b² = c²

A Pitagorasz-tétel másik megfogalmazása:

Tetszőleges derékszögű háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogó fölé írt négyzet területével.

Ez a tétel bizonyítja a derékszögű háromszög "létezését", a megfordítás pedig magára a derészögre ad bizonyítékot.

A Tétel megfordítása

(nem azonos magával a Pitagorasz-tétellel): Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű! A tételnek a megfordítása is igaz:

Ha a, b és c pozitív számokra igaz, hogy a² + b² = c², akkor van olyan háromszög, amelynek ekkorák az oldalai, és a háromszög derékszögű (c az átfogó).

Általánosítások

• A Pitagorasz-tétel fontos általánosítása a Tabit-tétel, ami az arab ibn Tabit nevéhez fűződik, és átvezet a tétel másik fontos általánosítása, a koszinusztétel felé.

• Érdekes folyománya a Pitagorasz-tétel a Ptolemaiosz-tételnek: A húrnégyszög átlóinak szorzata megegyezik a szemközti oldalak szorzatainak összegével, azaz ef=ac+bd. Ha az átlók egyenlők egymással, és a szemköztes oldalak is egyenlők, azaz e=f, a=c és b=d, akkor a húrnégyszögből téglalap lesz, és a Ptolemaiosz-tétel pontosan a Pitagorasz-tétel formáját veszi föl.

[szerkesztés]

Megjegyzések

• A geometria által vizsgált euklideszi tér leggyakoribb modellje a valós számhármasok tere, a geometria e modellre épülő felépítésében a Pitagorasz-tétel axiómaként (pontosabban, az euklideszi metrika definíciójaként) része a geometria alapvetésének.
• Történeti és didaktikai kiegészítés: Pithagorasz valószínűleg az átfogóra emelt négyzetekre vonatkozó egyenlőségként mondta ki a tételt, és talán tőle került bele ilyen formájában az Elemekbe. Tehát a görögök úgy gondolták, a Pitagorasz-tétel elsősorban területek egyenlőségét mondja ki. A hagyományos iskolai anyagban azonban egész más formájában, mint az oldalak hosszúságának négyzetére vonatkozó tétel szerepel, de bizonyítását mégis az itt közölt egyszerű átdarabolásos bizonyításhoz hasonló ún. "hindu bizonyítás" formájában szokás elvégezni. Ez a szó szoros értelmében, matematikailag nem helytelen, de mindenesetre sok kérdést vet fel, és szoros kapcsolatban van a szakaszok összemérhetetlenségének elméletével.
• A görögök közül tényleg sokan elhitték, hogy Pithagorasz fedezte fel az illető tételt. Egyik történetírójuk szerint amikor felfedezte, örömében száz ökröt áldozott az isteneknek. Ez azonban nagyon valószínűtlen, mivel a pithagoreusok nemcsak a lélekvándorlásban hittek, hanem, akárcsak a hinduk és buddhisták, abban is, hogy a halál után az emberi lélek állatokba is költözhet, ezért tartózkodtak az állatok öldöklésétől.
• A Pitagorasz-tételnek sokféle bizonyítása ismeretes, egy angol nyelvű honlap (www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml) pl. több mint negyven bizonyítást sorol fel, de az ismert bizonyítások száma a százat is elérheti. Persze az elemi matematikában mindig kérdés, hogy egy adott bizonyítás mire alapoz, pl. nem olyan állításokra-e, melyek közt már ott van maga a Pitagorasz-tétel is (ami eme tétel igen fontos szerepe miatt, mivel "mindenben ott van", nem zárható ki).

A Pitagoreus iskola és az inkommenzurábilitás

A Pitagoreus iskola mélyen hitt abban, hogy minden, ami a valóságban létezik leírható számokkal. Mivel a görög matematika csak a racionális szám fogalmát ismerte ezért ez előbbi állítás, legalábbis a geometriai szakaszokra vonatkozóan azt fejezte ki, hogy bármáy két szakasz hosszaránya racionális. A görögök érezték, hogy ez egy olyan tétel, amit bizonyítani kell. A fenti állításnak azonban éppen az ellenkezője bizonyosodott be, mint azt az előző szakaszban megmutattuk. Kiderült, hogy inkommenzurábilis az egyenlőszárú derékszögű háromszög befogója és átfogója. A Pitagoreus filozófia ezt megsemmisítő csapásként élte meg. A legszörnyűbb az lehetett, hogy a pitagoreusok a saját pályájukon veszítettek, a saját eszközeikkel győzte le őket a matematikai keretek közé szoríthatni vélt valóság. Létezik az, hogy a természetben van valami, ami nem szám? Ráadásul éppen a geometriában, ami a pitagóreus filozófia egyes számú gyakorlótere volt. Lehetséges, hogy pitagoreusoknak igazuk volt és minden szám. A számfogalom azonban, amit használtak nem volt alkalmas egy olyan filozófia tudományos megalapozására, mely szerint minden szám. Ha minden szám is, nem feltétlenül racionális szám. Mindenesetre a legenda szerint a Pitagoreusok szigorúan őrizték az inkommenzurábilis mennyiségek titkát. Állítólag vízbe fojtották azt az embert, aki kifecsegte a titkot. Olyan ez, mint az atomizmussal, mely szerint az anyag oszthatatlan részecskékből áll. Lehet, hogy ez így van, de ezek az oszthatatlan részecskék nem azonosak azokkal a fizikai létezőkkel, amelyeket először atomoknak, oszthatatlanoknak gondoltak.